Matematika Himpunan dan contoh soalnya

HIMPUNAN

Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek.
Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut : anggota, elemen, atau unsur.
Himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf besar, misal: A, B, Q, R, S atau Z.
Sedangkan obyek-obyek yang menjadi anggota suatu himpunan dilambangkan dengan huruf-huruf kecil, seperti : a, b, c, p, q, r, x, atau z.

Penulisan matematis

p Є A berarti bahwa obyek p adalah merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan A

Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota himpunan lain B, atau p Є A juga p Є B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B

Notasi : A С B berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B

Dua himpunan dikatakan sama atau sederajat apabila semua anggota dari himpunan yang satu juga merupakan anggota-anggota bagi himpunan yang lain, dengan kata lain jumlah dan jenis anggota-anggota kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A = B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya jika A С B serta B С A.

Penyajian Himpunan

Dapat dituliskan dengan 2 cara :

a). Cara daftar : dengan mencantumkan seluruh obyek yang menjadi anggota suatu himpunan.

misal : A ={1, 2, 3, 4, 5}

berarti himpunan A beranggotakan bilangan –bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, dan 5

b). Cara kaidah : dengan menyebutkan karakteristik tertentu dari obyek-obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Misal : A = {x; 0 < x < 6}

Atau A = {x; 1 ≤ x ≤ 5}

Himpunan Universal

Setiap himpunan tertentu dianggap terdiri dari beberapa himpunan bagian yang masing-masing mempunyai anggota. Yang dinamakan himpunan universal atau sering disebut himpunan saja. Dilambangkan dengan notasi U.

Sedangkan himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satu anggotapun. Dilambangkan dengan notasi { } atau ø. Himpunan kosong adalah merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan apapun.

Operasi Himpunan

a). Gabungan (Union)

Notasi : A U B adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-obyek milik B.

A U B = { x; x Є A atau x Є B }

b). Irisan (Intersection)

Notasi : A Π B adalah himpunan yang beranggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B. Atau dapat dikatakan, beranggotakan obyek-obyek yang dimiliki oleh A dan B secara bersama-sama.

A Π B = { x; x Є A dan x Є B }

c). Selisih

Notasi : A – B adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyak milik A yang bukan obyek milik B.

A – B Ξ A/B = { x; x Є A tetapi x Є B }

d) Pelengkap (Complement)

Notasi : Ā adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh A. Atau Ā adalah selisih antara himpunan universal U dengan A.

Ā = { x; x Є U tetapi x Є A } = U – A

Kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan

1). Kaidah Idempoten

    A U A = A              A Π A = A

2). Kaidah Asosiatif

    (A U B) U C = A U ( B U C)         (A Π B) Π C = A Π (B Π C)

3). Kaidah Komutatif

    A U B = B U A      A Π B = B Π A

4). Kaidah distributif

    A U ( B Π C) = (A U B) Π ( A U C)       A Π (B U C) = (A Π B) U (A Π C)

5). Kaidah Identitas

    A U ø = A              A Π ø = ø

    A U U = U            A Π U = A

6). Kaidah kelengkapan

    A U Ā = U           A Π Ā = ø

        Ā = A           Û = ø,   ø= U

Latihan soal

1.    Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B,

jika:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A = { 2, 3, 5, 7 }

B = { 1, 3, 4, 7, 8 }

Carilah :

a). A – B        c). A Π B        e). A Π B

b). B – A        d). A U B        f). B Π Ā

2.    Andaikan :

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}

A = { 1, 2, 3, 5, 6, 17 }

B = { 3, 4, 6, 7, 13 }

C = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 }

Gambarkan diagram venn-nya, kemudian selesaikan :

a). A Π B

b). B Π A

c). C Π A

d). A U B U C

e). (A U B) Π C

f). Ā Π B Π C

3. Andaikan himpunan universal

U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

I = { 2, 4, 6, 8 } dan A = { 0, 5, 9 } serta E = { 3, 7, 9 }. Tentukan :

a)    Ī

b)    Ā

c)    Ē

d). I Π A

e). I Π Ā

f). Ī Π A

g). I - ( A – E)

h). I U (A Π E)

i). (I U A) Π (I U E)

j). Ī U Ā

k). (I Π A) U ( I Π E)

Qoroa.ID